第 209 章 均值换元法之妙

一日，学堂之内，戴浩文正欲讲授新的知识。

戴浩文轻拂衣袖，缓声道：“今日为师要与尔等传授一种奇妙之法，名曰均值换元法。”

众学子皆正襟危坐，目光炯炯。

李华拱手问道：“先生，此均值换元法究竟何意？”

戴浩文微笑着回道：“莫急，且听为师慢慢道来。假设有一方程，形如 x + y = 10，且知 x - y = 2，若要求此 x 与 y 之值，当如何解之？”

张明皱眉思索片刻，道：“先生，吾等可否先消元求解？”

戴浩文微微摇头，道：“此法可行，然今之所学乃均值换元。吾等可设 x = a + b，y = a - b，其中 a 为 x 与 y 之均值，b 为二者之差之半。”

王强疑惑道：“先生，为何如此设之？”

戴浩文耐心解释道：“如此设之，可使方程简化，易于求解。今设罢，将其代入上述方程，可得何？”

赵婷轻声道：“则有 a + b + a - b = 10，2a = 10，a = 5。”

戴浩文点头称许：“赵婷聪慧。那再看 x - y 之方程，又当如何？”

李华忙道：“则为 a + b - a - b = 2，2b = 2，b = 1。”

戴浩文抚掌笑道：“善！既得 a = 5，b = 1，那 x 与 y 之值为何？”

张明恍然道：“则 x = a + b = 6，y = a - b = 4。”

戴浩文又道：“此乃简单之例，若方程更为复杂，如 x2 + y2 = 25，x + y = 7，又当如何？”

王强挠头道：“先生，此事更为难解。”

戴浩文笑曰：“依旧可用均值换元，设 x = u + v，y = u - v。则 x2 + y2 = u + v2 + u - v2 = 2u2 + v2 = 25，u2 + v2 = 25/2。又 x + y = 2u = 7，u = 7/2。”

赵婷接着道：“那 v2 = 25/2 - 49/4 = 1/4，v = ±1/2。”

戴浩文颔首：“极是。如此可得 x 与 y 之值。”

李华叹道：“先生，此均值换元法甚是巧妙，然需多加练习方能熟练运用。”

戴浩文正色道：“诚然。数学之法，皆需勤加研习，方能融会贯通。今再看此例，若 x3 + y3 = 35，x + y = 5，汝等试解之。”

众学子纷纷低头思索，奋笔计算。

戴浩文在堂中踱步，不时指点一二。

......

如此，在师生的一问一答、一思一解之中，学子们对于均值换元法的理解愈发深刻，学问亦日益精进。一日授课结束，学子们散去，唯张明留于堂中。

张明近前，拱手道：“先生，弟子于均值换元法仍有几处不明，望先生解惑。”

戴浩文和颜悦色道：“但说无妨。”

张明道：“若所给方程并非两式，仅一式，如 x2 + 2xy + y2 = 9，当如何用均值换元？”

戴浩文思索片刻，道：“此式可化为 x + y2 = 9，仍可设 x + y = u，解之可得 u 值，进而求得 x 与 y。”

张明又问：“那若式中含分数，又当如何？”

戴浩文轻道：“莫慌，若如 x + 1/2y2 = 4，可设 x + 1/2y = v ，照